陈劲宏



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再“品”压轴题

● 牛伟

工作之余，细品2003年（全国卷）理科数学压轴题，分析其所考查的数列似曾相识，回想竟与一道“不起眼”的练习相似。曾在课堂上作了下面这个练习：

数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项a100等于（ ）

A、10 　　B、13　　 C、14 　D、100

此题只需将相同项的个数作为一个数列，即1，2（2个2），3（3个3），4（4个4），…；又因为 13×（13+1） = 91，说明第91项是第13个13，从第92项开始就是14，一直要出现14个14，那么第100项就是第9个14。

现在，我们再来看看2003年高考数学压轴题22（Ⅱ）：

题 设{an}是集合{2s+2t | 0≤s＜t，且S，T∈Z}中所有的数从小到大排成的数列。即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，……，将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数表：（如下图所示）

　　　    3
　　　  5  6
　　　9 10 12
　　　 ……
（Ⅰ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；（Ⅱ）求a100 ；（Ⅲ）略。分析与解答：将此数表作如下的变形

　　　    3  20+21
　　　  5  6  20+22  21+22
　　　9  10  12  20+23  21+23  22+23
　　　　　……　……

（Ⅰ）由三角形数表的规律，第四、五行的各数很容易求得（略）；（Ⅱ）要求a100，实质上是求第100项所处的具体位置（第几行第几个数），由刚才练习的分析得知处在第14行第9个位置，因此a100=2s+2t = 28+214 = 16640；（Ⅲ）略。

将高考的神秘的面纱揭开后，再次体现了高考的特点“考基础、考能力”，“稳中求变，变中创新”。

下面，继续对练习中的数列进行探究：

求数列1，2，2，3，3，4，4，4，4，…，k，k，……，k的通项公式an？

解析：设第n项为an，则当1+2+3+4+…+（k-1）+1 ≤n＜1+2+3+4+…+k+1时， an=k

则 k（k-1）≤n-1＜k（k+1）

得k2-k≤2n-2＜k2+k，继续变形可得4k2-4k+1≤8n-7＜4k2+4k+1

根据高期函数可记作 （表示不超过最大整数部分）。 （王晓军老师审定）

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