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2004年新课程数学高考总复习备考研讨参考材料

（山西太原会议精神）

一、国家考试中心“3+X”与素质教育课题组成员王自如教授谈《关于新教材高考备考的思考与分析》时，对数学科有如下几条精神：
立足基础，加大综合能力的考察
（1）函数是重点，旦注意与生产生活实际相联系，
（2）突出学生理性思维和后继学习的能力和潜能。
（3）体现研究性学习的教育观念，注重学生的整体发展。
（4）注重实践能力和动手能力的考察。
（5）注重新增内容的考察，使数学的考察与教改的发展方向相符。
（6）导数重点考概念和计算（导数上升为数学必不可少的工具）
（7）概率和统计，考基本思想，基本方法，基本应用（每年都会有题）必修部分大题出现、文理同题，选修部分小题出现体现文、理之别。
（8）向量作为数学知识的交汇点，将分别命题考试
（A）平面向量考性质与运算法则和基本运算技能，
（B）向量的坐标表示，线型运算。
（C）结合其它内容一起考，如数形结合等以大题形式出现。
（D）考察空间向量处理问题。
（E）建立空间坐标系，求坐标点。
最后，请各位教师认真分析03年新教材高考题。
二、北京市80中学数学特级教师博士导师毛彬湖发言重点谈了三个方面内容。
（一）对2003年新高考知识的分析。
（1）全面考察，突出重点，主干知识仍是重点。
（2）新增知识的比例逐年增大，不仅有小题，还有大题。
（3）新增内容的难度，以中、低档为主，以后逐年增难。
（4）新增内容与传统内容联合起来命题，是“亮点”但这种题的难度严格控制。
（5）比较全面的考察了基本方法，如“西方法、公式法、归纳法等等”。
（6）从不同角度，有层次的考察了数学思想：如分类讨论思想，函数与方程的思想，变化与转化的思想，数形结合思想等。
（7）加大了数学理性思维的考察，如：理性思维的深刻性（对概念进行分类、论证、求解）等。
（8）重视数学应用的考察。

附03年全国新高考数学试题考查知识分布表

知 识 分 布
文 科
理 科
题 号 分 值 合 计 题 号 分 值 合 计
1、平面向量 8 5 11 4 5 11
22 6 21 6
2、集合逻辑
3、函 数 7 5 10 3、5 5、5 14
9 5 9 4
4、不 等 式 1 5 5 22、19 8、4 12
5、三角函数 4、21 5、12 17 2、17 5、12 17
6、数 列 5、19 5、12 17 8、22 5、6 11
7、直线与园 11 5 5 10 5 5
8、圆锥曲线 2、6 5、5 24 9 5 11
18、22 6、8 21 6
9、立 几 10、12 5、5 26 6、12 5、5 26
15、17 4、12 16、18 4、12
10、排列、组合、二次式定理 13 4 8 13 4 8
16 4 15 4
11、概 率 20 12 12
12、概率与统计 14 4 4 14 4 16
20 12
13、极 限 11 5 5
14、导 数 18 6 6 7 5 9
19 4
15、复 数 3 5 5 1 5 5
（二）数学新教材高考复习的建议和方法：
1、全面复习 突出重点 狠抓落实 夯实基础
继续强化对基础知识的理解，掌握抓住重点知识抓住薄弱的环节和知识的缺陷，全面搞好基础知识全面搞好基础知识的复习，中学数学的重点知识包括：
（1）函数的基础理论应用
（2）三角函数和三角变换
（3）不等式的求解、证明和综合应用
（4）数列的基础知识和应用
（5）直线与平面的位置关系
（6）曲线方程的求解
（7）直线、圆锥曲线的性质和位置关系
（8）对新增内容还有：
（A）向量的基础知识和应用
（B）概率与统计的基础知识和应用
（C）初等函数的导数和应用
2、对基础知识的复习应突出抓好两点：
（1）深入理解数学概念，正确揭示数学概念的本质，属性和相互间的内在联系，发挥数学概念在分析问题和解决问题中的作用。
例如：对函数的理解要抓住以下几个方面：
（A）正确理解集合与映射的本质特征
（B）用映射的观点认识函数
（C）准确把握函数关系的三要素
（D）深刻理解函数相关符号的意义
例题（1）集合A= {a, b,c} B ={-2，0，2} 映射fA B
满足f( a)+ f( b) =f( c) 这样的映射个数是 7 个
（2）已知f(x)=log2(x2-2x+m) (m？R)
①求定义域 ② 定义域和值域能否同时为R,为什么?
例题(3) 设f (x-1)=|x | - | x -2| f [f(m)] =f (2003) -7/2求实数m的值 (答案 m= -3/8)
(2)对数学公式、法则、定理、定律务必弄清其来龙去脉，掌握它们的推导过程，使用范围，使用方法（正用逆用、变用）熟练运用它们进行推理，证明和运算。例如：等差数列、等比数列的公式、三角公式的变式：
如：
2cos2 x- 1 1+cos 2x = 2 cos 2 x
1-2 sin2 x 1- cos 2x = 2 sin2 x
sin 2 x= 2 sin x cosx
sin 2x + cos 2x = 1
正、余弦定理的变式等等。
例题1、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽法种数 120种。

6 5 4
1
2 3
例题2、 一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和相等，这个数能被11整除，运用这个结论证明，当n为正奇数时
A= C0n+19n + C1n+19n-1 + C2n+19n-2 +……+ Cnn+19 + Cnn+1能被11整除。
（分析：二次式定理的逆用，各项都乘以9，两边同加1就可得证）

例题3：求函数Y= sinx + 1/（sin x + 2) +1 的值域。
例题4：方程 = |3x- 4y+1 | 的曲线是
（分析如两边平方就不行了，要用变化的思想 左边定两点问距离公式 右边同乘5除5就是点到直线的距离公式，再用概念可知是双曲线）
3、系统地对数学知识进行整理、归纳、沟通知识间的内在联系，形成纵向、横向知识链，构造知识网络，从知识的联系和整体上把握基础知识。例如以函数为主线的知识链。

又如直线与平面的位置关系中“平行”与“垂直”的知识链

说明上表中每个箭头都是判定定理和性质定理，本章主要定理都在表中体现）
例题 （略）
4、认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法，正确应用它们分析问题和解决问题。
考试说明指出：“数学思想和数学方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生，发展和应用的过程中，因此对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。
（1）数学思想
数学在高考中涉及的数学思想有以下四种:
（A）分类讨论思想：分类讨论思想是以概念的划分，集合的分类为基础的解题思想，是一种逻辑划分的思想方法。分类讨论的实质是“化整为零、积零为整“。科学分类的基本原则是正确，不重不漏，合理，便于讨论，科学分类的步骤是：明确对象的全体—— 确定分类标准—— 科学分类—— 逐一讨论—— 归纳小结得出结论。
（B）函数与方程的思想：
函数与方程是贯穿中学数学的主线，函数是客观实践中量与量之间相互依存，相互制约的关系的反映，方程则是这种关系在某种特定条件下的具体形式。
（C）变换与转化思想：在研究和解决一些数学问题时常采用某种手段进行命题变换，以达解决问题的目的。
常见有以下三个方面
①把复杂问题通过变换转化为较简单的问题。
②把较难问题通过变换转化为较易的问题。
③把没解决问题通过变换转化为已解决的问题。
常见转化方法有：
（1）直接转化法（2）换元转化法（3）数形结合转化法（4）构造模型转化法（5）参数转化法（6）类比转化法。
。
（D）数形结合思想：数形结合思想是应用客观事物中数与形的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，①寻求解题的切入点 ②简化解题过程 ③ 转换命题 ④验证结论的正确与完整。
数形结合的思想就是利用图形进行思维简缩，对选择、填空题的求解住住能大大简化思维过程，争取解题时间。
数形结合住住借助：
① 函数与图象的对应关系 ②方程与曲线的对应关系
③ 以几何元素，几何条件建立的概念。
④数与式的结构具有明显的几何意义。
例1、解不等式 + + 3x +1> 0
例2、实数x、y 满足 x ≥1 y ≥ 1 且log2ax + log2ay =
loga(ax ) + loga(ay ) (a ≠ 0 且a ≠1) 当a在（1,+ ∞）范围变化时求loga (xy) 的取值范围。
（2）基本数学方法
基本数学方法包括 （A）思维方法 观察 比较 归纳 概括
（B）逻辑方法 综合法 分析法 反证法 枚举法 数学归纳法
（C）一般方法 配方法 换元法 待定系数法 公式法 几何变换法
（平移 对称 延展 放缩 旋转 分割 补形……）
例1 已知x+ y +2x <0 下列各式中正确的是
A、x2+y2+4x+3 > 0 B、x2+4x+y2+3 < 0
C、x2+y2 +6x+8 > 0 D、x2+y2+6x+8 < 0
分析配方法：已知 (x +1)2 +y2 <1 图略
而A (x+2)2 +y2 >1 后略
例2. 当x2 +xy + y2 = 1 时 求x2+y2 的最值.
分析(1) (x – y)2=1-3xy≥ 0 xy≤ 1/3
配方法(2)(x + y)2=1+xy≥ 0 xy ≥-1
x2+y2的范围
法二：换元令x= cosθ y= sinθ (k>0, θ∈R)
代入得
例3、对x ∈ R 求证 ： （x2+4x+5）(x2+4x+2)+2x2+8x≥-10
分析 关键是如何降次 考虑换元法
其余有关旋转、补形等例题略
5、有计划地加强有效训练，不断提高四种数学能力。
考试说明指出“对能力的考察”以思维能力为核心，全面考察各种能力，强调探究性、综合性、应用性、切合考生实际，对数学能力的考察要以数学基础知识，数学思想方法为基础，加强思维品质的考察，对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识方法的深度和广度，切合中学数学教学实际。
（1）思维能力
思维能力是数学能力的核心，数学思维能力包括如下要求：
（A）数学概括能力
（B）数学抽象能力
（C）数学推理能力
（D）数学归纳能力
（E）数学简缩能力
（F）数学语言的表述能力
数学思维主要是逻辑思维，逻辑思维操作的对象是概念，即从概念出发，严格遵循逻辑推理的规则（主要是“三段论”的推理模式）进行推理，达到判断和证明的目的。
例题略……
（2）运算能力：（提高运算能力注意以下几点）
（A）合理运用概念、公式、法则、定理、定律、提高运算的准确性。
（B）精心设计运算过程，提高运算的合理性和简捷程度。
（C）灵活运用数学思想方法，化繁为简。
（例题 略）
（3）空间想象能力
高考对这种数学能力要求有四点
（A）根据题设条件想象和画出图形
（a）识别图形——能利用图形的题设条件“看”出几何体的形状、大小相互位置关系，几何体的几个元素在平面上，空间中的相互位置关系，排列顺序。
（b）画出图象——能将题目给出的文字语言、符号、语言转换为图形语言，按照画法规则绘制相应的空间图形。
（B）对几何图形的处理——图形的分割、组合、变形
（a）能对图形进行分割、补全、折叠、展开。
（b）能对图形进行平移变形处理 ，添加辅助线、面、体，将空间图形的某部分移出体外，空间图形的平面化处理将复杂图形简单化，非标准图形标准化。
（d）通过建立空间坐标系，利用向量知识解决有关立体几何问题是综合考察数学能力的重要途径。
（4）解决实际问题的能力
解决实际问题的能力是人们认识世界，改造世界的能力。较之前三种能力，它是更高层次和内涵更为宽泛的能力。
高考对解决实际问题能力的考察要求是：
（A）设计情景新，设问方式新的试题，增大思考量，减少运算量（B）加强对数学语言的考察，要求学生通过阅读和思维，把文字语言，表格语言、图形语言转化为数学语言，考察考生接受信息处理信息的能力。
（C）近年来对实际能力的考察，主要是通过开放性试题和实际应用问题来进行的。
开放性试题包括：○1判断性问题○2归纳性问题○3操作性问题
应用性问题包括：○1直接套用现成方式求解
○2利用现成数学模型求解
○3根据数学条件建立数学模型求解
解决实际问题的一般程序：
○1审题——读懂题面，理解题意，分清条件和结论，利用图表理顺数量关系。
○2建模——将题中的文字语言，转化为数学语言，建立相应的数学模型。
○3解模——求解模型，得出数学结论。
○4还原——将数学结论还原为实际问题的意义，通过检验得出应用问题的结论。
b:发挥选择题，填空题的思维训练和能力训练功能，选择、填空
题都是客观试题，它的特点是：
（A）概念性强 （B）量化突出 （C）充满思辩性 （D）形数皆备 （E）解法多样形 (F)题量大，分值高，实现对“三基”的考查。
（三）对04年高考命题的展望
1、基本稳定，但稳中求变，变中求新。
2、主干知识的考查（140个左右的知识点）而主干几乎都在考。
3、难度控制上，基本稳定。
4、全面考察，突出重点的要求。
5、各章节的分析：
（1）函数及其综合应用有三种类型（A）通过具体情景构建一个函数模型，考查函数基础知识，研究函数的性质。（B）以函数为载体，围绕二次函数，二次不等式考查方程、不等式的知识、（C）把函数知识、数列知识、解析几何知识结合在一起，考查方程变化，参数讨论，最值问题等。
（2）三角问题：主要是基础题和中档题，分值比例和难度相对稳定，以化简为中心（因求值是特殊的化简，证明是定向的化简）。解三角形问题以正、余弦定理为重点。可能联系实际。
（3）不等式：（A）注意不等式的求解（低、中档题）和不等式的证明（中难题出现，但可能性不大） （B）一个基础是：不等式的性质是求解和证明的依据。（C）考查重点：不等式的基础知识和求解办法（如均值不等式求最值等方面的应用）（D）不等式的应用是考查的重点之一（注意均值定理难度会相对降低）（E）把不等式与其它知识综合考查是压轴题（注意掌握几种常用方法，如分析法，综合法等）和归纳猜想等的应用，要用归纳、转化观点，把复杂问题简化）。
（4）关于数列问题（A）考查重点内容（解答题有一定难度）（B）与函数、不等式、解析几何综合考查是近年的热点（C）数列基础知识中的问题，用函数观点去解决（D）两基本数列，掌握性质，用时注意对Q讨论（E）猜想证明是一种能力。
（5）立体几何：（A）重点考几种位置关系（B）突出察是几种关系中的“⊥”（C）空间角，距离的计算是定量考查学生了解的深度也是重点（D）多面体、旋转体是考查几种关系的载体，注意以下几点○1考题数量，分值稳定○2正确理解几种关系的定理，性质关系○3用转化的方法分析解决问题○4主要考逻辑思维能力和空间想象能力
（6）直线与圆锥曲线部分：
（A）圆锥曲线是核心内容，直线与圆锥曲线的位置关系是核心中的核心。
（B）直线方程的考查侧重K ,b和位置关系。
（C）圆锥曲线中概念多，内部量之间联系多。
（D）圆锥曲线中几种常见问题○1曲线方程的求解○2动点轨迹○3参数问题○4对称问题
（E）圆锥曲线中运算是很难的（考查运算能力）
（7）关于向量：
向量是非常重要的工具。三年来考查力度逐年加大，重点内容有：
（A）向量的概念，性质的考查（以选、填空题为主）。
（B）向量的加、减、数量积。
（C）向量的平行，垂直关系是最基本最重要的关系是重点。
（D）平移公式，定比分点公式是两个重要的公式。
（8）微积分初步（按03年要求进行，现在不好谈）。
以上是山西太原会议精神的传达，有不正之处请各位同行指正。