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陈劲宏

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标题：对今年我市中考数学压轴题的探讨与展望

内容：

对今年我市中考数学压轴题的探讨与展望

威海市经济技术开发区新都中学申志荣

  看到最近两年威海市中考数学试题，我确实很有感触。过去那种"以知识为立意" 的中考命题方式已经一去不再复返了，取而代之的是"以能力为立意"，突出了对数学思想方法应用能力的考查。每一份中考试题对威海市初中数学课堂教学改革都起着不可估量的推动作用，尤其是今年中考试题的第28题--那道漂亮的压轴题，可以说是集综合性、创造性、应用性、开放性于一体的好题。尽管我区（经技区）考生对该题的解答临场发挥地不够理想，但这绝不能否定该题的实际意义，其含金量确实很高，笔者不妨谈一谈对这道题的看法，一孔之见，意在引玉。
  如图，点A、B、D都在x轴上，以AB为直径的⊙O1与以DO1为直径的⊙O2交于点C、C1，点C在y轴的正半轴上，．抛物线y＝ax2－2ax＋c 过A、B、C三点，顶点为点P．直线l过C、D两点．
  ⑴求抛物线的解析式及 P点的坐标．
  ⑵判断点P与直线l的位置关系，并说明理由．⑶求过点P并与⊙O1相切的直线的解析式．

  解法一：
  ⑴设A点的坐标为（-x1,0）, B点的坐标为（x2,0）, C点的坐标为（0, c）．……①
  列出关于x1、x2及c的方程组并求其值，得所求抛物线的解析式为
．
  求得顶点P的坐标为（1，）．………………………………………………②
  ⑵因为点P的坐标适合直线l的解析式，所以点P在直线l上。…………………③
  ⑶连结O1C．易证过点P与⊙O1相切的直线有两条：l（PD）和PD1，其中点D1和点D关于直线x＝1对称，求得两条直线的解析式分别是和．…④
  解法二：
  ⑴根据已知抛物线y＝ax2－2ax＋c，计算顶点的横坐标为，对称轴方程为x＝1．利用圆的性质求出A、B两点坐标，再设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－4），把点C点的坐标代入求出．从而得到抛物线的解析式及其顶点P的坐标。（略） ……⑤
  ⑵利用勾股定理及其逆定理判定△CO1P是直角三角形，证明直线CP和直线CD重合。…o
  ⑶与解法一的⑶类似，点C和C′关于直线x＝1对称，直线PC和PC′的解析式为所求。（略）
  这是一道考查基础知识的应用性试题，包含了初中《代数》和《几何》的许多重点，解题思路较宽，解题方法灵活，在解答的过程中要穿插运用以下知识点：
  《代数》
  《几何》
  这些知识点正是我们日常教学中反复强调的，如果说学生在考场上对此题的解答一无所知，那也只能说明我们教师对学生的综合思维能力的培养还欠缺。
  这是一道源于课本，却高于课本的开放性试题。课本上有这样的练习题：已知二次函数图象上A、B、C三个点的坐标，求这个函数的解析式，一般采用待定系数法求解。不难看出这道压轴题就是以这个练习题为基础，增加已知条件：．改变三个点的坐标条件叙述方式：AB是⊙O1的直径，且点A、B在x轴上，点C是⊙O1和⊙O2的交点并且在y轴正半轴上。挖掘结论：判断抛物线的顶点P与两个特殊点D（⊙O2与x轴的另一个交点）、C所确定的直线l的位置关系。推广命题：不仅求出图象经过A、B、C三个点的二次函数解析式，还要求出经过点P与⊙O1相切的一次函数的解析式。这样既能检查学生对教材的基础知识掌握情况，又能检测学生的综合分析解决问题的能力，还给学生了一次大胆猜想、发挥创造精神、施展能力的好机会。例如，解法的第①步是检查考生确定二次函数解析式一般方法的掌握情况，检测考生是否能够抓住解题的关键所在--确定抛物线所经过的三个点A、B、C的坐标。第②步是检查考生的有关知识点、待定系数法和配方法这两种数学基本思想方法的掌握情况，检测考生对基础知识、基本技能的联想程度，洞察考生对所学知识灵活运用的能力。第③步是检查考生的创新意识和数形结合意识；因为判断P点与直线l的位置关系，实质就是提供给考生一个猜想的机会，在点和直线的两种位置关系中选一个，再说明理由。说明理由的过程恰恰就是考生平时思维训练的反映。比如，要说明点P在直线l上有两种方法，一种叫做代数法，即验证P点的坐标适合直线l的解析式，这是教学大纲要求的基本技能；另一种叫做几何法，即证明过点P与⊙O1相切的直线CP和直线CD（l）是重合的，这种方法可以观测到考生良好的数学思想品质。第④步是检查考生对《代数》和《几何》的综合知识掌握情况，检测考生的数形结合、数形转化的能力。第⑤步是检查考生的非常规解题方法掌握情况，检测考生的创新意识，对已掌握的知识和技能灵活运用的能力。
  这是一道基础性、思想性、探索性都很强的综合性试题，很有探讨价值。它表面上是以考查课本知识为着眼点，实际上是对参加中考的学生在理解能力、实践能力、创新意识等方面综合能力的检测，是一把测量威海市参加2001年中考学生以及他们的数学教师内在数学素养的尺子。不难看到解答的过程就是课本基础知识应用的过程，但是，那些缺少数学思想和基本解题方法、没有分析解决问题的实践能力和创新意识的考生，面对此题只能望而生畏，无从下手。采取题海战术的教学方法且不说它与素质教育是背道而驰的，即使是用来对付类似的中考试题也只能是水中捞月；那种靠投机取巧，考前押题的做法，无异于大海捞针。那么，到底怎样才能使我们的学生面对类似的压轴题不再怯场了呢？
  经过探讨，展望未来，我认识到在今后的数学教学过程中，应该注意以下几点：
  第一，要重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。在教学中，要突出重点、抓住关键、解决难点，引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律，进行基本技能的训练，并着重培养学生的能力。由于学生在不同的教学阶段所获得的知识往往是局部的，因此，在教学中还必须注意知识的整体性和内在联系，指导学生认真阅读课文，及时进行复习和总结，把所学知识系统化。重视学生的创新意识和实践能力的培养，在学生各自原有的基础上提高综合分析解决问题的能力。同时，还要引导学生养成运用数学思想解决数学问题的习惯，明白无论什么样的习题或试题，都是由基础知识组合的，都源于教材，都是有规律可遵，有根可循的。
  第二，要重视改进教学方法，坚持启发式和讨论式教学方法。师生双方要密切合作、互相交流，不仅使学生懂得数学知识，而且还要让学生揭示获取知识的思维过程。在课堂教学中要充分发挥学生的主体作用，立足于把学生的思维活动展开，辅之以必要的讨论和总结，并加以正确的引导；要相信学生，放手让学生探讨研究类似题型，不贪多，要求精。要使学生学会解类似题目的途径：先逐词逐句分析原题，深刻领会题意，挖掘隐含条件；再清理知识点，联想基础知识和基本技能，抓住解题突破口，掌握解题的关键所在；然后探询解题方法，确定解题步骤，给出解题答案；最后归纳解题规律和思想。
第三，要面向全体学生，培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的好奇心和求知欲。要承认学生的差异，区别对待，实施"分类指导、分层施教"。对学习数学有困难的学生，要特别给予关心，及时采取有效措施，树立他们的自信心和自尊心，指导他们改进学习方法，使他们经过努力，能够达到大纲中的基本要求。对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织兴趣小组等形式，引导他们涉猎与数学有关的报刊书籍，拓宽他们的知识面，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能；在他们掌握基本知识的同时推行丰富数学学科知识的"横向"教学方式，力争使他们的素质与能力同步提高，以便能够快速解答试题，应付各种能力的检测，在今后类似这样考核综合能力的压轴题中捷足先登。
  看到最近两年威海市中考数学试题，我确实很有感触。过去那种"以知识为立意" 的中考命题方式已经一去不再复返了，取而代之的是"以能力为立意"，突出了对数学思想方法应用能力的考查。每一份中考试题对威海市初中数学课堂教学改革都起着不可估量的推动作用，尤其是今年中考试题的第28题--那道漂亮的压轴题，可以说是集综合性、创造性、应用性、开放性于一体的好题。尽管我区（经技区）考生对该题的解答临场发挥地不够理想，但这绝不能否定该题的实际意义，其含金量确实很高，笔者不妨谈一谈对这道题的看法，一孔之见，意在引玉。
  如图，点A、B、D都在x轴上，以AB为直径的⊙O1与以DO1为直径的⊙O2交于点C、C1，点C在y轴的正半轴上，．抛物线y＝ax2－2ax＋c 过A、B、C三点，顶点为点P．直线l过C、D两点．
  ⑴求抛物线的解析式及 P点的坐标．
  ⑵判断点P与直线l的位置关系，并说明理由．⑶求过点P并与⊙O1相切的直线的解析式．

  解法一：
  ⑴设A点的坐标为（-x1,0）, B点的坐标为（x2,0）, C点的坐标为（0, c）．……①
  列出关于x1、x2及c的方程组并求其值，得所求抛物线的解析式为
．
  求得顶点P的坐标为（1，）．………………………………………………②
  ⑵因为点P的坐标适合直线l的解析式，所以点P在直线l上。…………………③
  ⑶连结O1C．易证过点P与⊙O1相切的直线有两条：l（PD）和PD1，其中点D1和点D关于直线x＝1对称，求得两条直线的解析式分别是和．…④
  解法二：
  ⑴根据已知抛物线y＝ax2－2ax＋c，计算顶点的横坐标为，对称轴方程为x＝1．利用圆的性质求出A、B两点坐标，再设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－4），把点C点的坐标代入求出．从而得到抛物线的解析式及其顶点P的坐标。（略） ……⑤
  ⑵利用勾股定理及其逆定理判定△CO1P是直角三角形，证明直线CP和直线CD重合。…o
  ⑶与解法一的⑶类似，点C和C′关于直线x＝1对称，直线PC和PC′的解析式为所求。（略）
  这是一道考查基础知识的应用性试题，包含了初中《代数》和《几何》的许多重点，解题思路较宽，解题方法灵活，在解答的过程中要穿插运用以下知识点：
  《代数》
  《几何》
  这些知识点正是我们日常教学中反复强调的，如果说学生在考场上对此题的解答一无所知，那也只能说明我们教师对学生的综合思维能力的培养还欠缺。
  这是一道源于课本，却高于课本的开放性试题。课本上有这样的练习题：已知二次函数图象上A、B、C三个点的坐标，求这个函数的解析式，一般采用待定系数法求解。不难看出这道压轴题就是以这个练习题为基础，增加已知条件：．改变三个点的坐标条件叙述方式：AB是⊙O1的直径，且点A、B在x轴上，点C是⊙O1和⊙O2的交点并且在y轴正半轴上。挖掘结论：判断抛物线的顶点P与两个特殊点D（⊙O2与x轴的另一个交点）、C所确定的直线l的位置关系。推广命题：不仅求出图象经过A、B、C三个点的二次函数解析式，还要求出经过点P与⊙O1相切的一次函数的解析式。这样既能检查学生对教材的基础知识掌握情况，又能检测学生的综合分析解决问题的能力，还给学生了一次大胆猜想、发挥创造精神、施展能力的好机会。例如，解法的第①步是检查考生确定二次函数解析式一般方法的掌握情况，检测考生是否能够抓住解题的关键所在--确定抛物线所经过的三个点A、B、C的坐标。第②步是检查考生的有关知识点、待定系数法和配方法这两种数学基本思想方法的掌握情况，检测考生对基础知识、基本技能的联想程度，洞察考生对所学知识灵活运用的能力。第③步是检查考生的创新意识和数形结合意识；因为判断P点与直线l的位置关系，实质就是提供给考生一个猜想的机会，在点和直线的两种位置关系中选一个，再说明理由。说明理由的过程恰恰就是考生平时思维训练的反映。比如，要说明点P在直线l上有两种方法，一种叫做代数法，即验证P点的坐标适合直线l的解析式，这是教学大纲要求的基本技能；另一种叫做几何法，即证明过点P与⊙O1相切的直线CP和直线CD（l）是重合的，这种方法可以观测到考生良好的数学思想品质。第④步是检查考生对《代数》和《几何》的综合知识掌握情况，检测考生的数形结合、数形转化的能力。第⑤步是检查考生的非常规解题方法掌握情况，检测考生的创新意识，对已掌握的知识和技能灵活运用的能力。
  这是一道基础性、思想性、探索性都很强的综合性试题，很有探讨价值。它表面上是以考查课本知识为着眼点，实际上是对参加中考的学生在理解能力、实践能力、创新意识等方面综合能力的检测，是一把测量威海市参加2001年中考学生以及他们的数学教师内在数学素养的尺子。不难看到解答的过程就是课本基础知识应用的过程，但是，那些缺少数学思想和基本解题方法、没有分析解决问题的实践能力和创新意识的考生，面对此题只能望而生畏，无从下手。采取题海战术的教学方法且不说它与素质教育是背道而驰的，即使是用来对付类似的中考试题也只能是水中捞月；那种靠投机取巧，考前押题的做法，无异于大海捞针。那么，到底怎样才能使我们的学生面对类似的压轴题不再怯场了呢？
  经过探讨，展望未来，我认识到在今后的数学教学过程中，应该注意以下几点：
  第一，要重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。在教学中，要突出重点、抓住关键、解决难点，引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律，进行基本技能的训练，并着重培养学生的能力。由于学生在不同的教学阶段所获得的知识往往是局部的，因此，在教学中还必须注意知识的整体性和内在联系，指导学生认真阅读课文，及时进行复习和总结，把所学知识系统化。重视学生的创新意识和实践能力的培养，在学生各自原有的基础上提高综合分析解决问题的能力。同时，还要引导学生养成运用数学思想解决数学问题的习惯，明白无论什么样的习题或试题，都是由基础知识组合的，都源于教材，都是有规律可遵，有根可循的。
  第二，要重视改进教学方法，坚持启发式和讨论式教学方法。师生双方要密切合作、互相交流，不仅使学生懂得数学知识，而且还要让学生揭示获取知识的思维过程。在课堂教学中要充分发挥学生的主体作用，立足于把学生的思维活动展开，辅之以必要的讨论和总结，并加以正确的引导；要相信学生，放手让学生探讨研究类似题型，不贪多，要求精。要使学生学会解类似题目的途径：先逐词逐句分析原题，深刻领会题意，挖掘隐含条件；再清理知识点，联想基础知识和基本技能，抓住解题突破口，掌握解题的关键所在；然后探询解题方法，确定解题步骤，给出解题答案；最后归纳解题规律和思想。
  第三，要面向全体学生，培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的好奇心和求知欲。要承认学生的差异，区别对待，实施"分类指导、分层施教"。对学习数学有困难的学生，要特别给予关心，及时采取有效措施，树立他们的自信心和自尊心，指导他们改进学习方法，使他们经过努力，能够达到大纲中的基本要求。对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织兴趣小组等形式，引导他们涉猎与数学有关的报刊书籍，拓宽他们的知识面，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能；在他们掌握基本知识的同时推行丰富数学学科知识的"横向"教学方式，力争使他们的素质与能力同步提高，以便能够快速解答试题，应付各种能力的检测，在今后类似这样考核综合能力的压轴题中捷足先登。

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